B站首发！草履虫都能看懂的【傅里叶变换】讲解，清华大学李永乐老师教你如何理解傅里叶变换，辨清美颜和变声原理，！！_哔哩哔哩_bilibili
1. 傅里叶级数
傅里叶级数可以将 所有周期性函数 转换为 三角函数的组合.
周期性函数可以使用相位, 振幅和频率这三个参数表示.
$$ \begin{align*} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum a_n \cdot \sin(n\omega t+\varphi_n) \\&= \frac{a_0}{2}+\sum a_n\sin n\omega t + \sum b_n\cos n\omega t \\ &\Rightarrow 1\cdot \sin n\omega t \cdot \cos n\omega t \end{align*} $$- 经过变换, 函数就可以用 $1,\sin n\omega t , \cos n\omega t$ 这三个参数表示, 这三个参数互为标准正交基.
2. 傅里叶变换
傅里叶变换可以表示所有函数 (非周期函数可以理解为长度无限长的周期函数), 首先要搞懂欧拉公式
所有的三角函数都可以用复数平面坐标系和复指数函数表示. (对于任意实数也是成立的)
- 这里用的是实数A. 当 $\theta=\omega t$ 的时候, 就是点 A 逆时针旋转. 这时候公式就可以用作表示周期性函数. $\theta=-\omega t$ 的时候, 可以表示顺时针旋转.
这里假设一段含有多个三角函数的函数(不同频率的信号), 假设其中含有一个频率为 $\omega$ 的 $\sin$ 函数信号, 那么用频率为 $\omega$ 的 $\sin n \omega t$ 去点乘这个信号, 就可以去掉其他所有的 $\cos n \omega t$. (把函数想象成频率空间的向量, 一个向量在另一个方向 $\omega$ 上没有分量的话, 那么这个向量与方向 $\omega$ 的单位向量内积为 0 是很自然的)
而这里的欧拉公式里两种三角函数 ($\sin \cos$) 都有, 所以可以直接用在下面的公式里, 探测某个特定频率的信号是否存在.
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j \omega t} \cdot d t\left\{\begin{array}{l}=0\ 不含\omega \\\neq 0\ 含\omega\end{array}\right. $$这时候用积分就很快, 因为积分可以直接计算整个时间长度. 这时如果结果为 0, 说明这个频率的信号不存在, 如果结果不为 0, 那么函数含有这个频率的信号.
而傅里叶逆变换可以将某个特定频率的信号配合相位 (信号开始的位置), 下图的虚部就是相位. 实部就是真实的信号, $\omega$ 就是频率.
上面两个公式只要遍历所有的频率就可以提取或还原出所有频率的信号了.